Matemática e um pouco de "matematiquês"

Uma introdução à Matemática um tanto diferente!

Esta é a primeira postagem de uma série sobre como entender e estudar Matemática, e aqui começaremos a investigar, com um viés lógico, o que é Matemática, se ela é uma linguagem e, por fim, se é uma ciência.

Nesta postagem começamos a discutir sobre Matemática e damos início a duas ambiciosas missões: (i) entender como estudar Matemática e (ii) estudar, propriamente, a Matemática. A primeira, (i), consiste em abrir o caminho para nosso grande guia de estudos — uma série de posts que terá como objetivo principal fornecer um caminho interessante para se estudar Matemática e a relação dela com outras disciplinas. A segunda, (ii), é o objetivo principal da nossa aventura sobre estudar Matemática de um jeito diferente, talvez mais interessante pra uns e talvez mais desafiante para outros. 

Nossa primeira discussão hoje é sobre algo já muito discutido por aí: seria a Matemática (apenas) uma linguagem? O que é uma linguagem, afinal, para dizermos que a Matemática se reduz a isso? A Física é só uma linguagem? Não? Por quê? Bem, vamos ver se conseguimos conversar um pouco sobre isso, mas, antes, eu gostaria de deixar um aviso breve sobre minha maneira de ensinar.

Minha forma de ensinar Matemática

Sabemos que a tradição ocidental, mesmo depois de muita discussão quente, durante o século XX, sofre influências, até hoje, do que pode ser considerada a Filosofia da Grécia Antiga. Dentre as figuras ilustres deste período de grande efervescência conceitual, uma que se destaca é a de Platão. Não é meu objetivo hoje, neste texto, explicar em detalhes o que seria o platonismo na Filosofia, mas podemos dizer que há uma visão, até bem difundida no senso comum, de que a Matemática não seria criada pela mente humana, mas sim aquilo que chamamos de atividade matemática, que nós praticamos, teria alguma conexão com um reino abstrato onde vivem as entidades matemáticas: este seria, grosso modo, o platonismo na Matemática (se você tem interesse em saber sobre platonismo na Filosofia e na Matemática, deixe nos comentários). 

Essa visão platônica da Matemática apareceu no meio de grandes discussões importantíssimas sobre Fundamentos de Matemática, no século XX, as quais deram origem a ferramentas essenciais para se fazer estudos e investigações matemáticas nos dias de hoje - a Lógica Matemática, por exemplo, surge neste contexto, por influência do projeto logicista de Frege. Frege demonstrava ter um tipo de platonismo, isto é, atrelava existência a objetos de natureza abstrata, não-física.  

Agora, quero falar um pouco o que o platonismo vai ter a ver com minha forma de ensinar Matemática. O que vou falar aqui, porém, vai soar meio óbvio para aqueles que já fazem parte de um círculo matemático. O ponto é que eu, assim como muitos que fazem parte de comunidades matemáticas, acreditando ou não numa forma de platonismo, nos expressamos de maneira, muitas vezes, que dá a entender que o platonismo é a maneira correta de se entender o que está acontecendo na investigação matemática, o que são os objetos matemáticos e porque matemática funciona. 

Porém, apesar dessa característica sociológica do meio matemático, platonismo não é a única proposta que se estuda em Filosofia da Matemática, nem, necessariamente, a mais aceita em todo lugar. Ela só é a que parece ser irrefletidamente mais presente na retórica entre estudantes e professores quando falam de Matemática. Claramente, isto é influência de uma tradição que remonta a muitos séculos de desenvolvimento científico e matemático - por exemplo, é muito presente em Galileu quando este menciona que o universo está escrito em ''linguagem matemática''.

Eu não tenho interesse nenhum em convencer as pessoas de que devemos ter uma ideia platônica da Matemática. Pelo menos, não hoje. No futuro, vocês vão saber se mudei de ideia. Entretanto, ainda sim, talvez não tão irrefletidamente, mas ainda sim em conformidade com o que encontramos por aí no senso comum, minha forma de ensinar reflete, explicitamente, uma maneira platônica de abordar a Matemática. 

Quero deixar bem claro: esta é uma escolha que faço, pois, para as finalidades do que quero ensinar, considero de grande utilidade. Muitas vezes, vou convencer você que está lendo, se eu obtiver sucesso na minha retórica, de que é muito útil pensar que uma certa coisa linguística (sintática) faz referência a algum objeto abstrato que, supostamente, na minha historinha, mora em algum lugar. Meu objetivo, com isso, é tornar o ponto mais didático. Futuramente, com a discussão mais avançada, podemos discutir os detalhes a respeito disso, filosoficamente.

Se você entender o que eu quero dizer com esse linguajar no contexto e, no futuro, decidir se enveredar pela Filosofia da Matemática, certamente encontrará outras correntes de pensamento que terão maneiras diferentes de expressar o mesmo que eu quis expressar, ou algo próximo, tirando alguns compromissos filosóficos e adicionando outros, ou, claro, pode acontecer de você vir a discordar plenamente da maneira com que me expresso. Assim, neste momento, você terá desenvolvido uma outra maneira de enxergar a Matemática que será diferente e até mesmo incompatível com o meu modo de me expressar.

O importante, porém, é que se tenha caridade com o que eu quero dizer e que se entenda o que digo neste sentido pedagógico. Às vezes, vou pedir que você jogue meu jogo. É só isso. Isto não é nenhuma anomalia. Já acontece no ensino de Matemática muitas vezes. A diferença é que a professora ou o professor não avisa que é apenas por questões pedagógicas que se fala de uma certa maneira. Portanto, meu ensino terá, sim, um caráter bem platônico, em diversos momentos (se você gostaria de uma discussão sobre Filosofia da Matemática, deixe nos comentários). Digo isso explicitamente pois precisarei, de verdade, que você entre na brincadeira quando chegar a hora.

A Matemática é uma linguagem?

Há diversas áreas acadêmicas que lidam com alguma noção de “linguagem”. Essa palavra aparece em Jornalismo, Linguística, Ciência da Computação, Filosofia, Matemática, etc. Em particular, em livros introdutórios de Linguística como, por exemplo, o Manual de Linguística, de Martelotta et al, podemos encontrar afirmações como

[O]s lingüistas - cientistas que se dedicam à lingüística - costumam estabelecer uma relação diferente entre os conceitos de linguagem e língua. Entendendo linguagem como uma habilidade, os lingüistas definem o termo como a capacidade que apenas os seres humanos possuem de se comunicar por meio de línguas. 

Já em outras áreas que lidam com comunicação, talvez os profissionais delas entenderão “linguagem” como qualquer maneira de comunicar alguma coisa entre dois sujeitos, seja por texto, imagem, com auxílio de um gesto, etc. A primeira pergunta que devemos nos fazer é: queremos usar estas noções de linguagem para investigar a fundo se a Matemática é uma linguagem? Ainda, devemos usar estas noções? O que vou fazer a seguir é estipular com você que usaremos uma noção específica de linguagem e a partir desta noção reflitiremos sobre a Matemática.

A noção que vou utilizar é de um viés mais lógico. Uma linguagem formal é constituida, grosso modo, de uma coleção de símbolos e regras bem definidas de como construir palavras, sentenças e fórmulas. E, normalmente, nós estudamos uma linguagem formal fazendo uso de uma metalinguagem. Uma metalinguagem (podendo ser formal ou não) é, basicamente, uma linguagem que nos auxilia na manipulação dos símbolos da linguagem formal que estamos dando enfoque. Uma analogia útil é pensarmos num dicionário Português-Inglês: utilizamos o Português para explicar e manipular palavras que estão em Inglês.

Entretanto, já adianto que uma linguagem, neste sentido formal, não tem internamente a si uma noção de “consequência” ou “derivação”. Para que a gente introduza isto e tenha, num determinado contexto, uma linguagem na qual podemos fazer inferências, precisamos basicamente de um sistema lógico - uma lógica. Portanto, uma lógica é onde podemos fazer enunciados bem precisos, onde não há ambiguidade, e, além disso, podemos derivar (deduzir/provar) novas sentenças a partir de outras. Além desta característica nova de dedutibilidade, podemos querer dizer se uma sentença é verdadeira ou falsa. Ou seja, podemos querer interpretar a linguagem subjacente de modo a atrelar verdade a algumas sentenças e falsidade a outras. Estas duas noções, teorema (aquilo que é provado) e verdade, são dois conceitos relacionados, respectivamente, com sintaxe e semântica do sistema lógico.

Hoje, na pesquisa, existem diversos sistemas lógicos, isto é, diversas lógicas. A mais conhecida, por ser a usada na Matemática usual, é a Lógica Clássica. Porém, há outras lógicas: modais, relevantes, paraconsistentes, etc. Em cada lógica, o que se poderá formular na linguagem formal subjacente e o que se poderá derivar a partir de outras sentenças será, eventualmente, diferente. Daí, a utilidade de existirem tantos sistemas diferentes: é possível que se queira modelar (no sentido de modelagem matemática como em Física) coisas diferentes, em contextos diferentes, e uma lógica pode ser mais adequada do que outra.

Como já falamos, a Lógica Clássica é o sistema lógico por trás de uma boa parte de Matemática a qual conhecemos do Ensino Básico e até do Ensino Superior. E é justamente por haver, seja informalmente, na atividade cotidiana do matemático, seja formalmente, num software de verificação formal de provas, um sistema lógico subjacente àquilo que chamamos de Matemática que esta não pode ser apenas uma linguagem (formal). Isto pois além de escrevermos símbolos matemáticos, concordamos que existe uma estrutura lógica que nos permite inferir algumas coisas de outras. Note que não é preciso nem ser platônico, neste sentido, para observar que Matemática não pode ser uma linguagem (se linguagem significar aquilo com a qual e na qual podemos exprimir coisas, compartilhar, etc.) É claro que se você usar uma noção suficientemente genérica de linguagem, muita coisa vai ser uma linguagem, inclusive a Matemática. Entretanto, tem um motivo para eu evitar essa banalização: quando entendemos Matemática como linguagem, perdemos de vista a relação que há entre sintaxe e semântica, na Matemática. E quando perdemos de vista isso, pelo menos na minha visão, fica muito mais difícil de entender, de forma profunda, quais são os objetivos da Matemática, enquanto ciência, no final do dia.

A Matemática é uma ciência

Matemática é uma ciência. Claro, Matemática não é uma ciência no mesmo sentido que a Física ou a Biologia são ciências (o mundo físico não é o “juiz final” na justificação de teoremas). Ainda sim, há analogias muito interessantes entre a pesquisa em Matemática e em outras ciências. Essa minha visão pode ser bastante questionável, mas é algo que cultivo tem um tempo e vem de diálogos que tive com meus professores, orientadores e colegas. Ver Matemática como uma investigação científica é a maneira que acredito ser, pelo menos pedagógica e inicialmente, a mais adequada para pensar sobre Matemática. Para entender meu ponto de vista, acompanhe minha retórica a seguir.

Imaginemos, brevemente, um jovem pesquisador em Matemática que acredita que a Matemática é apenas uma linguagem. Um dia, este jovem pesquisador (seja de iniciação científica, mestrado, doutorado ou de fronteira, recém formado) decide criar uma axiomática (uma coleção de sentenças como, por exemplo, “para todo a e para todo b, a+b = b+a” e mais algumas outras), pois este jovem anseia muito se tornar um matemático que criou uma teoria matemática conhecida! Feliz com sua nova empreitada, ele se encontra com seu orientador e é pego desprevinido. Assim que termina de explicar quais axiomas tinha escolhido, o orientador lhe pergunta: e quais criaturas se comportam de acordo com essa axiomática? O jovem entra em pânico! Vai para casa encucado. Uma série de perguntas agora o assombram: como assim quais criaturas? Matemática não era só uma linguagem? Quem disse que preciso me preocupar com “o mundo” e “quais criaturas habitam nele”?

O que será que o orientador queria dizer com “criaturas”? Bem, deixa eu falar uma coisa que normalmente não é discutida com a devida atenção em sala de aula: definições, teorias axiomáticas, notações que ajudam na hora de fazer conta, etc., não vieram primeiro, na esmagadora maioria das vezes, na história da Matemática. E é isto que o jovem pesquisador em Matemática está prestes a descobrir. Muito antes de termos a teoria formal dos números reais, já tinhamos uma intuição a ser captada. Com o advento da teoria de conjuntos, quando a teoria dos números reais foi formulada, Cantor, Dedekind, e outros, trabalharam para demonstrar que existia uma estrutura matemática, no reino conjuntista, que se comportava de acordo com a teoria dos números reais, ou melhor, que satisfazia uma lista de axiomas.

Esta foi uma das coisas mais valiosas que aprendi com o professor Eduardo Tengan, nas minhas aulas de noite, na UFSC, em 2019, quando conversávamos horas e horas antes e depois da aula: Matemática é feita de trás pra frente se compararmos com os livros didáticos. O que está nos livros normalmente não só está numa ordem arbitrária que torna, se formos otimistas aqui, o assunto a ser ensinado um pouco mais organizado e acessível como, na verdade, a primeira coisa que aparece, que são as definições e axiomas, são as últimas a serem descobertas na pesquisa, na investigação matemática.

Para fins pedagógicos, vou fazer uma distinção bem grosseira para explicar o que eu acabei de afirmar. Penso que existem 4 principais maneiras (ou, numa lista maior de maneiras, estas certamente estariam também no topo) de se investigar Matemática Pura: 

• Trabalhamos de modo sintático com uma teoria matemática: supomos uma série de axiomas (de tal teoria) e, usando muitas vezes um conhecimento de fundo compartilhado, deduzimos uma série de consequências que são necessárias na medida em que aceitamos os axiomas da teoria. Isto é “sintático” pois fazemos demonstrações e em nenhum momento necessitamos interpretar os axiomas e nem precisamos falar de sentenças verdadeiras (mesmo, nesta etapa, por abuso de linguagem, expressando que certas demonstrações nos fornecem “verdades”);

• Fazemos metateoria semanticamente: dada uma coleção de axiomas de uma teoria, consideramos a coleção das estruturas matemáticas que satisfazem os axiomas, numa teoria de conjuntos pressuposta por vezes ingenuamente, e chamamos estas estruturas de modelos da teoria. Neste tipo de investigação, estudamos funções entre modelos da teoria, estudamos, sem necessariamente perguntar se modelos existem de fato, quais propriedades estas estruturas vão ter se existirem e como elas se relacionam entre si;

• Mostramos que algumas estruturas matemáticas são modelo de uma axiomática: numa teoria de conjuntos pressuposta, consideramos estruturas e “justificamos” exibindo passo a passo que tais estruturas satisfazem uma certa axiomática. Isto é o que é feito na maioria esmagadora dos cursos de Álgebra Linear no começo de cursos de exatas, em listas de exercício (com enunciados como "prove que tal conjunto com tais operações é um espaço vetorial, etc.");

• Axiomáticas são criadas a partir de estruturas que começam a pipocar na pesquisa: a Matemática não está pronta, nem de longe, por mais que isto pareça ser algo que faz parte do imaginário popular. E, na pesquisa, por mais que existam muitas teorias e muitas estruturas matemáticas conhecidas, muitas vezes aparecem estruturas matemáticas, usualmente estudadas “dentro” de uma teoria de conjuntos, que não são modelo de nenhuma teoria. Conforme estas estruturas começam a aparecer mais, a comunidade se vê na obrigação de achar axiomas que tornem todas - ou quase todas - estas estruturas modelos da teoria axiomática que será constituida destes axiomas.

Então, em certo sentido, a matemática ou o matemático, tal qual a física ou o físico, está frequentemente lidando com uma linguagem, na qual há uma estrutura inferencial que por sua vez permite a demonstração de coisas (sintaxe) e esta linguagem faz referência a algo (semântica) - normalmente numa teoria de conjuntos, na Matemática.

Uma física ou um físico escreve milhares de vezes em sua vida a segunda Lei de Newton, F = ma. Mas, em circunstâncias diferentes, possivelmente pensa numa interpretação diferente que vai atrelar valores para algumas letras em cada contexto (e estes valores escolhidos vieram de um “mundo”, o mundo físico, através da experimentação).  Neste caso, dizemos que a fórmula “F = ma” foi interpretada e dizemos, por exemplo, que “é verdade que a força F vale tantos newtons” de acordo com a situação no mundo (no laboratório, por exemplo). A verdade surge de uma correlação entre “mundo” e linguagem, podendo, às vezes, ser um “mundo de faz de conta” como quando fazemos exercícios de Física, supondo vários contextos diferentes, com plano inclinado ou não, etc. O que importa é que a linguagem seja interpretada para que não seja “apenas linguagem” e sim uma investigação teórica sobre um domínio de interesse que faz uso de uma linguagem.

Na Matemática não é muito diferente. Dada uma teoria de conjuntos (ok, essa parte é suspeita e merece discussão mais aprofundada, mas vamos deixar para uma outra hora!), onde “moram certas criaturas” (lembra o que o orientador do jovem matemático perguntou?) - como (ℤ,+,·) ou (ℕ,≤), as quais vamos encontrar num estudo posterior -, a matemática ou o matemático "constrói" estruturas matemáticas que satisfazem os axiomas de alguma teoria. Por exemplo, hoje sabemos que (ℤ,+,·) é uma estrutura matemática que satisfaz os axiomas da teoria de anéis, e é chamado de anel, isto é, interpreta a teoria de anéis de modo “verdadeiro”. De fato, esta é a estrutura mais importante da teoria de anéis, o exemplo canônico que temos que ter na cabeça quando pensamos em tal teoria.

Assim, nesse ponto de vista, o trabalho dos matemáticos passa a ser criar teorias e explicações para as criaturas que vivem lá no mundo matemático, na teoria de conjuntos. Pra isso, matemáticos criam axiomáticas - e, no meio do caminho, criam também algoritmos, diagramas, dão nomes bonitinhos, etc. Além disso, matemáticos encontram estruturas na pesquisa que ainda não tem uma notação canônica, um nome especial, uma teoria sobre, etc. Parte do trabalho é entender estas novas “criaturas” caso elas pareçam estar no centro de algum padrão ou dinâmica que a comunidade matemática considere importante. Se tudo der certo, estas novas criaturas, estes novos objetos matemáticos, serão exemplos de uma axiomática criada (veja que é exatamente assim que é a imagem do cientista, observando o mundo e fazendo teoria sobre as coisas que caem, por exemplo). Agora, porém, depois de uma axiomática criada, é possível que existam estruturas matemáticas não previstas antes que satisfazem tais axiomas. E assim, temos, felizmente, surpresas!

Por isso, pelo menos para fins pedagógicos, gosto de pensar que o matemático é o biólogo e o físico de coisas abstratas. Além de mnemônica, a frase evidencia todo esse processo que faz parte da investigação na pesquisa matemática. Na Matemática, estudamos objetos matemáticos que codificam os mais diversos padrões que encontramos basicamente em todas as outras ciências: simetria, localidade, suavidade, invariância, etc. Pra mim, isso deixa claro que para entender Matemática de uma maneira profunda, precisamos aprender a fazer demonstrações a partir de axiomas e aprender a construir ou reconhecer estruturas que satisfazem certos axiomas. E é por isso que Matemática não é uma linguagem. E, mais ainda, é por isso que Matemática é uma ciência - uma ciência formal. Afirmar que Matemática é uma linguagem, na minha concepção, é fazer uso de liberdade poética. É claro que Matemática tem uma linguagem característica, formal ou até mesmo num sentido mais amplo, mas ela está longe, enquanto atividade intelectual, de se resumir a isso.

Obs: há uma discussão escondida aqui que é a conexão entre modelos nesse sentido que usei no post até aqui, proveniente da Teoria de Modelos, e modelos no sentido de modelagem matemática que aparece em Economia, Estatística, Física Matemática, etc.; mais problemática ainda é a questão de como todo esse ferramental formal consegue, de fato, falar do mundo, nas ciências empíricas. Como que estruturas conjuntístas, ou o que quer que seja que utilizamos para fazer Matemática, dialoga com o mundo físico, para fazermos Física, por exemplo. Se você gostaria de discussões nessa direção, comenta aí.

Este texto chegou ao fim :'(

É isto, gente. Infelizmente, chegamos ao fim deste texto. Este foi nosso primeiro contato com a Matemática de uma maneira um pouco mais sofisticada do que a encontrada no Ensino Básico (e, às vezes, no Ensino Superior). Acredito que tenho muito a ouvir de vocês, nos comentários, e aprender com vocês, pois, lembro vocês, também sou um aluno. Espero que o texto tenha sido útil e legal. Nos vemos em breve.

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Referências

• Introdução à Lógica - Mortari

• Introdução aos Fundamentos Axiomáticos da Ciência - Krause

• Física Conceitual - Hewitt

• Manual de Linguística - Martelotta et al