Planos futuros: Matemática Básica, Dualidade de Stone e mais entrevistas

Neste post falarei sobre dois novos quadros do blog mais conteudistas; um sobre Matemática Básica e outro sobre Dualidade de Stone. Além disso, comentarei brevemente sobre duas entrevistas futuras já agendadas.

Começou finalmente o semestre letivo para mim. Com isso, estou de volta e o blog continua sua etapa beta até estabilizar de vez. Quando a etapa beta passar, farei um pequeno evento de lançamento. Enquanto isso, continuo com a estruturação de conteúdo e visual do site. Hoje, falaremos sobre a parte que diz respeito ao conteúdo.

Atualmente, existem duas coisas completamente diferentes que eu gostaria muito de fazer no blog mas que em alguma medida se complementarão no futuro. É sobre elas que eu gostaria de falar. A primeira é um quadro sobre Matemática Básica, porém de um ponto de vista diferente de como se vê na escola. Com "diferente", quero dizer algo já pensado para conectar com assuntos da graduação e até mesmo outros assuntos da literatura matemática mais para frente. Isso nos leva a segunda coisa. Além do quadro sobre Matemática Básica, quero fazer um quadro sobre o que venho estudando na graduação: Dualidade de Stone

Dito isso, este post é para começar a realizar estas duas coisas que eu gostaria muito de fazer. Primeiro, vou explicar um pouco sobre o quadro de Matemática Básica. Depois, falarei melhor sobre a Dualidade de Stone e sobre o quadro que focará nela. Por fim, comentarei sobre as entrevistas já agendadas.

Um reencontro com Matemática Básica e aplicações

No Ensino Médio, não só na disciplina de Matemática, mas em vários outros momentos nas demais disciplinas abordadas, somos mergulhados numa perspectiva mais utilitarista e imediatista do conteúdo abordado. Isto faz com que discussões naturais de serem abordadas em diversos momentos oportunos não aconteçam. Um exemplo de tópicos que poderiam ser explorados no Ensino Médio mas, normalmente, não são: a ponte entre Álgebra e Geometria através da Geometria Analítica, o primeiro encontro com infinito através da contagem ou de somas de progressões geométricas, a reflexão sobre argumentação e Lógica nas inferências matemáticas, introdução do Cálculo a partir de problemas de Otimização ou de Geometria, padrões algébricos que ocorrem no estudo de operações nos conjuntos numéricos, Criptografia como motivação do estudo de Aritmética, etc.

Entretanto, não quero fazer textos soltos de divulgação. Quero construir um tipo de conteúdo conectado e sequencial que possa ser acompanhado como se fosse uma grande aventura, semanalmente ou, de vez em quando, mensalmente. Irei começar com discussões sobre técnicas de demonstração e um pouco de Lógica e Teoria de Conjuntos. Em seguida, irei introduzir os conjuntos numéricos e suas propriedades. E daí em diante, vou apresentar toda a Matemática do Ensino Médio conectando com assuntos de graduação. Este quadro, em verdade, nunca acabará, pois o "fim" dele coincidirá com o "início" de vários outros projetos em andamento no blog. Porém, se eu tivesse que dizer até onde iremos, mais ou menos, eu diria que iremos até introdução à Álgebra Abstrata, Cálculo e Física. O próximo passo, depois disso, será começar assuntos mais focados em Lógica, Matemática de graduação e Física Geral.

Este quadro começa em março de 2022. Ainda não tenho um nome para ele, mas aceito sugestões! Se quiser interagir, deixe uma sugestão nos comentários, por favor. Por último, quero falar da bibliografia que usarei:


Uma introdução compreensiva à Dualidade de Stone

No mesmo espírito do quadro de Matemática Básica, também pretendo apresentar outro quadro com bastante carinho e cuidado. Este outro quadro será sobre o tema da minha monografia da graduação (que estou escrevendo) e tem conexão com assuntos que continuarei estudando depois do graduação. Este quadro servirá como introdução à Fundamentos de Matemática, Lógica, Teoria de Categorias, Álgebra Abstrata, Topologia, Álgebras de Operadores e muito mais tópicos. É um tema riquíssimo e farei uso de todo o potencial dele na medida em que minha ignorância permitir!

A Dualidade de Stone versa sobre uma conexão entre Álgebra e "Geometria"; é uma ponte entre a teoria das álgebras booleanas e uma classe especial de espaços especiais chamados espaços de Stone. Este resultado é uma abstração categórica do clássico Teorema de Representação de Stone para álgebras booleanas — teorema demonstrado na década de 30 por Marshall H. Stone. O que este teorema de representação afirma é que toda álgebra de Boole em algum sentido é uma álgebra de conjuntos, isto é, é o tipo de estrutura muito parecida com a que encontramos nos cursos introdutórios de graduação, quando estudamos operações conjuntistas como interseção, união e complementação. Teoremas de representação são muito importantes em Matemática tanto do ponto de vista aplicado quanto do ponto de vista filosófico. Quando conseguimos reduzir o estudo de uma teoria toda ao estudo de algum exemplo importante da teoria em questão, temos maior controle sobre os demais exemplos e obtemos uma maneira "concreta" de explorar a teoria, através deste exemplo conhecido. Em outras palavras, o que o teorema de representação para álgebras booleanas fala é que, ao estudarmos álgebras de conjuntos, não estamos perdendo nada do ponto de vista da teoria das álgebras de Boole. 

As consequências filosóficas desse resultado de representação ficam mais evidentes quando este toma sua forma mais abstrata na linguagem da Teoria de Categorias. Por isso, precisaremos percorrer um longo caminho para que eu possa apresentar, com detalhes, e explorar, a Dualidade de Stone e suas consequências. Uma consequência, por exemplo, é que a Dualidade de Stone permite que a gente traduza, em certos contextos, Álgebra em "Geometria" (e vice-versa), ou, de um ponto de vista lógico-linguístico, permite a gente traduzir Sintaxe em Semântica (e vice-versa). 

Este quadro começa em março de 2022. As referências bibliográficas são:
  • Stone Spaces - Johnstone (referência principal);
  • The Logic in Philosophy of Science - Halvorson;
  • Introduction to Topology and Modern Analysis - Simmons;
  • Introduction to Lattices and Order - Davey & Priestley;
  • Models and Ultraproducts - Bell & Slomson;
  • Topology: A Categorical Approach - Bradley et al;
  • Teoria de Categorias para Matemáticos - Ribeiro;
  • Basic Category Theory - Leinster.


Entrevistas futuras

Já tenho duas entrevistas agendadas para o primeiro semestre de 2022. Uma entrevista, como eu já avisei, será sobre Fundamentos de Estatística com um colega meu que cursa Estatística. A outra, agendada recentemente, será sobre Game Design e Filosofia com um colega meu doutorando em Filosofia. Espero que estejam tão animados quanto eu!


Comentários finais

Não deixem de buscar as referências e se preparar para estudarmos juntos! Tenho certeza que será uma longa aventura cheia de coisas interessantes e apaixonantes. Tem conteúdo tanto para quem nunca teve contato com Matemática antes e gostaria de conhecer quanto para quem gostaria de se desafiar com o que aprendeu na graduação. Com o tempo, quem estiver estudando pelo quadro de Matemática Básica terá condição de começar a acompanhar o quadro sobre Dualidade de Stone (esse é um dos meus objetivos fazendo o outro quadro mais introdutório). 

Compartilhem com as pessoas que vocês acham que se interessarão pelo estudo que farei aqui. Vamos estudar juntos e descobrir mais sobre Matemática e a relação dela com outras áreas do conhecimento! 


2 Comentários

  1. Muito legal seu projeto Julio, estou com uma vontade/necessidade de estudar matemática, porém preciso ir de uma maneira mais leve. Vou ficar acompanhando teu projeto quando começar meus estudos! Boa sorte :)

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    1. Obrigado, Osmosi!

      Sobre o ritmo: pode ficar tranquilo que a parte de Matemática Básica tenderá a ser bem introdutória e amigável, focando mais em discussões conceituais do que em contas sempre que for possível.

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