Rigor e intuição na atividade matemática (com o Prof. Thiago da Silva da UFES)

Olá! Este é oficialmente o primeiro post do blog que não é um aviso ou uma burocracia necessária para nos entendermos. De fato, neste texto, iremos explorar alguns assuntos interessantes que permeiam a atividade científica; em particular, então, permeiam também a atividade matemática. Falaremos sobre rigor e intuição na atividade das pesquisadoras e dos pesquisadores em Matemática. Entretanto, esta não será uma discussão com referências bibliográficas sobre o tema, nem um estudo filosófico do assunto. Meu objetivo aqui será trazer aos holofótes algo que acho de extrema importância na formação de alunas e alunos de Matemática: (i) qual o papel do rigor no dia a dia de quem pesquisa em Matemática?; e (ii) estas pessoas que fazem tal pesquisa são tão diferentes assim de outros cientistas? 

Não abordaremos toda a complexidade desse assunto aqui, certamente. Entretanto quero deixar claro qual é meu ponto ao iniciar este tipo de conversa no blog - a qual eu acho que se prolongará por muitos e muitos outros posts no futuro. Eu acredito que a história (superficial) que existe nos corredores das universidades de que na Física ou Engenharia há um aproveitamento maior da intuição humana do que na Matemática pode estar baseada em um mal-entendido sobre a atividade matemática ou, talvez, sobre as formas que temos de intuir. Além disso, a ideia de que não se pode estudar Física e ao mesmo tempo ser rigoroso filosófica e matematicamente (pois isto supostamente limitaria os profissionais da Física), na minha visão, tem muito mais a ver com a maneira limitadora que o ensino é feito hoje em dia - em relação aos fundamentos lógicos, matemáticos e filosóficos de Ciência - do que com o que nós somos capazes ou não de fazer com qualidade. Esta é minha visão. E eu irei procurar elaborar melhor ela com o passar do tempo. Este post então pode ser considerado como o primeiro passo para começarmos a conversar sobre este assunto polêmico, todavia fascinante, sobre a forma como fazemos Ciência.

Parece haver, além disso que comentei, uma visão de que matemáticos são como robôs desalmados que na dinâmica social não tem nenhum traquejo. Apesar de alguns exemplos, isto também parece ser baseado em estereótipos que não compreendem de maneira alguma toda a história da Matemática até hoje, história esta que é repleta de paixão, aventuras, sofrimento, desentendimentos, calúnias, etc. Existem muitos episódios na história que mostram aspectos absurdamente humanos da personalidade de matemáticos e matemáticas. Há episódios de panelinha contra alguma personalidade pois tal panelinha discordava da relevância de algumas ideias surgindo do trabalho de tal personalidade, como no caso da vida de Cantor. Há, na história, por questões sociais e políticas de época, um envolvimento profundo na atividade de educar matemática em grande medida por parte de mulheres matemáticas. A história de Galois, como é contada, nos mostra uma faceta muito curiosa da experiência humana através do envolvimento com Matemática. Galois foi um matemático incrivelmente prolífico para sua idade. Aos 20 anos se envolveu num duelo para batalhar pelo coração de uma moça e acabou morrendo. Como conta a lenda, Galois teria escrito, na noite anterior, sabendo de uma possível derrota, diversas anotações sobre suas ideias matemáticas. Se estes exemplos não demonstram que o mundo das matemáticas e dos matemáticos é repleto de sentimentos, responsabilidade social e aventuras tal qual toda a experiência humana contempla, então não sei o que é a experiência humana - o que é possível também de ser o caso. 

Matemáticas e matemáticos são humanos. Fazem uso do intelecto humano de forma objetiva no estudo de sua ciência mas também são repletos de uma subjetividade inerente ao ser humano. Por isso, tais profissionais fazem uso, boa parte do tempo, de diversas características heurísticas que todos nós temos. A intuição é uma destas características. Pode ser que a intuição desenvolvida após um treinamento matemático tenha características diferentes da intuição desenvolvida após um treinamento no contexto da Física. Entretanto, considerar que essa intuição tem caráter heurístico menos válido e é menos importante para o trabalho científico apenas porque não necessariamente vai estar baseada em experiências mundanas me parece um erro grave.

Dito tudo isso, parece que rigor e intuição podem gerar uma grande discussão, com potencial de ser bastante proveitosa para quem gosta de pensar sobre a atividade científica. Por isso, achei correto começar oficialmente o blog com estes assuntos. Como já falei, não abordaremos toda a complexidade do assunto neste post. Ele é apenas um começo. E para começarmos, decidi convidar um matemático colega meu, Prof. Thiago da Silva da UFES, para nos contar um pouco sobre a sua relação com o rigor e a intuição até hoje. Este vai ser nosso passo inicial na direção de desvendarmos como o rigor e a intuição estão presentes - e se estão - na atividade matemática. 

Este formato de post com uma introdução mais um convidado, finalizando o post com uma entrevista sobre o tema, será recorrente. Vai ser um dos quadros do blog. Já existem outros posts nesse estilo sendo escritos. O próximo será sobre Fundamentos de Estatística com um colega meu que estuda essa área.

Por último, o Prof. Thiago e eu somos próximos, então, de vez em quando, me permitirei chamá-lo pelo seu primeiro nome. 

Quem é o Prof. Thiago da Silva?

Thiago apresentando palestra no IMPA

O Prof. Thiago da Silva possui graduação em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo (2009), mestrado em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo (2010) e doutorado em Matemática pela Universidade de São Paulo (2018). Atualmente é professor adjunto da Universidade Federal do Espírito Santo. Pesquisa na área de Teoria Algébrica de Singularidades.

Além disso, o Thiago é um exímio internauta - o que, felizmente, fez com que a gente acabasse se conhecendo através das redes sociais. No Twitter (através do ususário @thiago_fsilva), com seus mais de dois mil seguidores, vive ativamente discutindo sobre Matemática, Política, sua fé, e, claro, esbravejando toda vez que o Vasco perde (o que, infelizmente para ele, vascaino roxo, não tem sido tão raro). 

Thiago dando aula em um vídeo de seu canal MateMATHiago

No YouTube, em seu canal MateMATHiago, Thiago produz conteúdos de Matemática à nível universitário e libera de forma totalmente gratuita. De acordo com a descrição posta em seu canal, 

O objetivo é auxiliar alunos de graduação, pós-graduação e pesquisadores em Matemática Pura com a apresentação de aulas de Matemática avançada em suas diversas subáreas. Além disso, o material produzido aqui é uma ferramenta para professores de Matemática do ensino superior apresentarem um material alternativo e complementar às aulas usuais em suas universidades.

No MateMATHiago, Thiago aborda tópicos como Teoria de Conjuntos, Álgebra Abstrata, Análise, Geometria Algébrica, etc. Suas aulas são cativantes e ele sempre está com um bom humor contagiante. É disparado, na opinião de quem vos escreve, um dos melhores canais de Matemática em língua portuguesa (e até do mundo) no que diz respeito a aulas completas, bem elaboradas, explorando motivações e com o rigor e cuidado teórico necessários num nível universitário. O canal conta até esta data com mais de cinco mil inscritos. 

Entrevista

Abaixo, você encontra a conversa que tive com o Thiago. As perguntas, em negrito, são feitas por mim. As respostas, em itálico, são falas do Thiago. Finalmente, espero que aproveitem o diálogo!

Bem-vindo ao Fundamentae, Thiago! É um prazer ter você aqui conversando comigo sobre Matemática. Hoje, nosso papo será sobre rigor e intuição no contexto do trabalho e dia-a-dia da matemática e do matemático. Mas, antes, gostaria que você falasse um pouco sobre o que tem feito hoje em dia, para que o pessoal te conheça. Conte para os leitores do Fundamentae sobre sua vida como pesquisador, o que tem lecionado na universidade e sobre seu canal fantástico de Matemática no YouTube!

R: É um grande prazer participar desta entrevista, e desde já deixo minha gratidão pelo convite. Atualmente a minha pesquisa está focada em problemas de equisingularidade bi-Lipschitz na Teoria Algébrica de Singularidades. Um dos principais objetivos é capturar condições algébricas que revelem a presença de equivalência Lipschitz entre variedades analíticas complexas (e reais). Também estou lecionando um curso de Análise na reta para a graduação, além do curso de Análise na reta no programa da Pós em Matemática como parte do processo seletivo para o ingresso no mestrado. Além disso, tem sido um imenso prazer gravar vídeos e aulas para o meu canal. Fiquei muito feliz e surpreso com a boa receptividade que ele obteve entre alunos (as) e professores (as) de diversas instituições espalhadas pelo país. Acredito que as vídeo-aulas podem ser ferramentas auxiliares preciosas para estudantes e professores ao longo da formação acadêmica.

Talvez quem está lendo o blog agora não conhece o contexto da(o) matemática(o) ou da(o) cientista ou filósofa(o) que lida com métodos formais, e, talvez, por isso, não tenha contato com rigor como entendido por nós, na atividade matemática. Por isso, gostaria de te perguntar: como você descreveria brevemente o que é rigor (matemático, se preferir distinguir) na matemática, para essas pessoas?  

R:  Na minha visão, ser rigoroso no processo de construção do conhecimento é ser fiel a um conjunto de regras que explicitam honestamente o que será considerado objeto de estudo, e o que será entendido como uma lei de inferência válida. Isto precisa ficar muito claro antes da atividade intelectual pretendida. Uma vez elencado tudo isso, ser rigoroso no meu ponto de vista é - honestamente - desenvolver a investigação intelectual a partir desses pressupostos. Vindo para a Matemática, essas regras se revelam por meio de algumas ferramentas. Por exemplo, todos partimos de uma linguagem; a mais comum é a Linguagem de Conjuntos, proveniente de alguma Teoria de Conjuntos, e dentre tantas, Zermelo-Fraenkel-Choice (ZFC) é a mais usual. Pensemos, por analogia, na atividade matemática como sendo a atividade de um cientista que investiga o mundo. Assim, na linguagem escolhida, noções primitivas tentam dar o fundamento da natureza dos entes que serão estudados; os axiomas dão fundamentos iniciais para o que seria considerado verdadeiro dentro do ambiente. E por fim, a Lógica legisla sobre quais são as regras de inferência que serão consideradas válidas para a obtenção de "novas verdades" a partir daquelas que já foram estabelecidas, ou axiomatizadas. Finalmente, ser um matemático rigoroso é entender que, para algo alcançar o status de "verdade matemática", é necessário que este "algo" passe ileso por todo este processo.

Dito isso, Thiago, gostaria de saber sobre como foi sua jornada de estudos desde a graduação até o doutorado (e até mesmo hoje em dia). Você era rigoroso antes da graduação? E durante? Qual foi o papel da formação matemática na sua relação com o rigor matemático? 

R: Eu fiz a graduação e o mestrado na UFES, e depois fiz o doutorado no ICMC/USP com um estágio sanduíche na Northeastern University, em Boston (EUA). Antes de entrar na graduação eu não era nenhum pouco rigoroso, simplesmente porque eu não fazia ideia de que isso existia. E eu queria fazer Física na verdade. Mas como não tinha este curso perto da minha cidade, eu optei por Matemática com a ingênua estratégia de depois migrar para a Física. Até que no segundo período eu fui apresentado a algo chamado "Espaço Vetorial". Eu não sabia elaborar isso na época, mas hoje percebo que estava se revelando diante de mim todo aquele processo de construção rigorosa e generalizada do conhecimento do qual falamos anteriormente. Foi amor à primeira vista. Lembro que no fim desta aula eu perguntei ao professor: "o que eu preciso fazer para estudar esse tipo de coisa o resto da minha vida?"; então ele me explicou que o mais indicado era eu prosseguir na carreira acadêmica. Bem, aqui estou eu! Certamente a formação dada pelo curso de Matemática foi fundamental para que eu passasse a adotar o rigor como ferramenta epistemológica. Até porque o rigor faz parte da cultura matemática. É muito difícil alguém prosseguir na carreira profissional de matemático sem carregar em si o rigor. E eu me empolguei tanto que sou do tipo que gosto de desfiar a demonstração até quase chegar na definição dos termos. Quanto mais detalhes explicitados maior é a segurança de que nenhum erro foi cometido no processo. Em geral uma recompensa do rigor é o sentimento de "certeza" acerca da veracidade do conhecimento matemático, e de que este continuará sendo verdade, ainda que os séculos passem.

Uma pergunta que, para muitos, não quer calar, deve ser: ser rigoroso já contribuiu alguma vez no seu trabalho? É vantajoso ser rigoroso matematicamente?

R: Sim e sim! Quando trabalhamos com rigor nós mesmos achamos a maioria dos nossos erros. Claro que temos nossas limitações, e é muito importante trabalhar em colaboração. Quando se está escrevendo um artigo, é importante ter com quem falar, seja no mesmo departamento na hora do café, seja num evento. Essa interação tem grande potencial não apenas de aprimorar o trabalho, mas também de encontrar eventuais erros. Porém, em geral são matemáticos rigorosos que encontram erros e apontam bons caminhos para a correção. Veja que o rigor (pensando não apenas no sentido matemático) é a grande válvula propulsora da revisão por pares, que é uma das principais ferramentas do método científico. No fim, cada área do conhecimento possui suas próprias regras, e revisar um trabalho - em última instância - significa verificar rigorosamente se as regras vigentes naquele ambiente intelectual foram cumpridas. Eu divaguei um pouco da pergunta original sobre se é vantajoso ser rigoroso matematicamente porque, na verdade, eu defendo que é vantajoso ser rigoroso seja lá qual for o contexto intelectual que você esteja.

Agora, quero fazer uma pergunta mais polêmica. Existem vários estereótipos sobre a vida de um pensador que mexe com matemática e, claro, não quero entrar no mérito de cada detalhe. Mas, existe uma característica específica que parece difundida por aí de que o matemático por ser rigoroso não pensa intuitivamente, não olha para o mundo para fazer descobertas, que fica preso ao formalismo matemático cegamente. O que você acha disso?

R: Eu diria que existe o risco sim de um matemático - especialmente no início de sua formação - se encantar tanto pelo rigor e formalismo, que isso passe a distorcer sua visão sobre o papel da intuição. Digo isto porque, da segunda metade da graduação até o início do mestrado, eu passei a desprezar a intuição, tamanho o meu encantamento pelo rigor e formalismo.

De fato, enquanto você é apenas um estudante que procura entender o que já foi feito, é possível (mas não recomendado) seguir adiante desprezando a intuição e enfatizando apenas as conexões lógicas rigorosamente construídas. O problema é quando você vai pesquisar e precisa caminhar no escuro. Nessa hora a intuição é fundamental. De todos os matemáticos que já colaborei ou conheci, e que estejam atuando na pesquisa, não me lembro de nenhum que despreze a intuição no processo de investigação.

O meu conselho para quem está começando: valorize a intuição desde o começo. O seu aprendizado sem ela é manco. O matemático que despreza a intuição muitas vezes se torna um mero manipulador de símbolos, como se eles não carregassem outros significados. Para isso é importante compreender exemplos e casos particulares importantes a depender do contexto. Muitas coisas eu fui entender melhor só quando eu fui lecionar, já como professor, justamente por me abrir às intuições envolvidas. Isso melhora a nossa compreensão sobre a realidade, e até mesmo a qualidade do ensinamento. As vantagens pedagógicas são enormes.

Thiago, mas e qual o papel da intuição na atividade matemática? Matemáticos lidam com coisas (que eles consideram serem) concretas? Na sua opinião, a intuição ajuda no progresso matemático?

R: Eu não considero que os objetos de estudo da Matemática sejam concretos, entendendo este termo como algo que existe na realidade objetiva e imanente no universo. A pergunta sobre a natureza (e até mesmo a sobre a existência) destes objetos é tema de grande debate entre filósofos da Matemática até hoje. Sobre isso, o que posso dizer é que me considero um platonista moderado, uma abreviação que eu acabei de inventar para dizer que eu realmente acredito que as verdades e teoremas são descobertos, mas as notações, símbolos e definições são criações humanas.

Na minha opinião, intuição e rigor têm o mesmo peso de importância na construção do conhecimento matemático. Para ser rigoroso e formal acerca de um tema matemático é imprescindível que já exista um conhecimento anterior, ainda que não totalmente compreendido ou esclarecido. Esta capacidade de perceber comportamentos parciais e, a partir disso, começar um processo de conjectura, é fruto da intuição. O rigor é uma ferramenta inadequada neste momento, pois o objetivo do rigor é estabelecer cuidadosamente algo que a intuição viu antes.

Gosto de pensar que a intuição é o facão na mão de alguém no meio de uma floresta densa e fechada, procurando por algo importante. Depois de achar, aí sim ele vem com um maquinário pesado abrindo o caminho, fazendo a estrada organizada. O formalismo rigoroso é essa máquina poderosa que vem organizando e limpando a estrada que a intuição abriu parcialmente antes. Note que é inútil usar um maquinário pesado sem ter a menor ideia para onde ir. Isso é o rigor sem a luz da intuição: inútil.

Uma pergunta que pode ser bem polêmica: você acha que sua intuição matemática e sobre o mundo melhorou depois que você desenvolveu um maior rigor matemático?

R: A intuição matemática de certa forma sim, porque invariavelmente alguns processos psicológicos que envolvem a intuição ocorrem dentro de uma mente treinada para ser rigorosa, e não existe uma chave para ligar/desligar completamente o pensamento rigoroso. Claro que, ao "liberar" a mente para a intuição, naturalmente fazemos um esforço consciente de não nos preocuparmos com algumas questões técnicas; num primeiro momento queremos saber aonde aquele raciocínio intuitivo/heurístico pode chegar, e se o potencial ponto de chegada é valioso o suficiente para depois empreendermos um esforço formal e rigoroso.

Porém, ainda que exista flexibilidade, a atuação discreta do rigor (talvez até inconsciente) pode filtrar algumas intuições infrutíferas.

Thiago, eu entendo que nem todo mundo quer ou deve ser um matemático. Entretanto, você acha que existem qualidades que uma formação matemática te dá que ajudam em outras coisas da vida cotidiana? Rigor seria uma dessas qualidades? 

R: Certamente. Pensando no rigor como algo não necessariamente matemático, e sim como aquele conjunto de regras honestamente enunciadas que eu mencionei antes, eu diria que ele é uma virtude intelectual desejável para qualquer ser humano. Os componentes deste rigor na vida cotidiana vão mudar de acordo com o cenário, mas certamente devem levar em consideração virtudes como honestidade e humildade intelectuais. 

Hoje, estamos passando por uma pandemia e uma crise política no país. Parte desses problemas foram causados ou agravados por uma onda de ignorância e negacionismo científico. Tem algo que você como matemático e, principalmente, como professor, gostaria de dizer para nossas leitoras e nossos leitores?

R: O meu apelo é que todos nós cultivemos virtudes intelectuais, que podem ser compreendidas como qualidades da mente e do caráter que promovem o florescimento intelectual, o pensamento crítico e a busca honesta da verdade.

Deste modo, é importante compreender que o conhecimento é um empreendimento que se desenvolve há séculos. Não estamos começando nada do zero, e sim percorrendo um caminho já atravessado por muitos antes de nós, e por isso mesmo é importante conhecer as grandes obras do nosso contexto intelectual. Isso é humildade e sabedoria intelectual. 

Em temas fora do nosso domínio, devemos dar atenção especial a quem dedica sua vida à compreensão daquele tópico. Hoje em dia existe uma confusão muito grande entre falácia por apelo à autoridade e o bom senso de dar maior peso a quem tem bagagem para sustentar o que diz. E se algum especialista disser algo que saia muito de um consenso mínimo entre seus pares, o nosso sinal de alerta deve ligar. Os tempos de pandemia mostraram que alguns especialistas abriram mão de seus compromissos com a honestidade intelectual em nome de poder e influência, e todos devemos ficar atentos a isso.

Esta conversa está muito interessante! Mas, infelizmente, estamos chegando ao fim. Tenho certeza que teremos mais conversas interessantes aqui no blog, seja por texto ou por outra mídia, logo, logo! Gostaria de te fazer mais algumas breves perguntas para finalizarmos. A primeira é sobre seu trabalho como YouTuber! Quais vídeos e playlists do seu canal você recomenda para alguém que quer começar a aprender a demonstrar resultados matemáticos e quer conhecer matemática de graduação?

R: Primeiramente eu não sei se me considero um YouTuber clássico. Quem acompanha o canal percebe que os meus vídeos são mais simples, sem tantas sofisticações na edição, e principalmente: são bem longos. Eu sei que eu acabo fazendo uma certa divulgação científica, mas o objetivo em si dos meus vídeos não é a divulgação. Eu prefiro me descrever como um "professor no youtube". A ideia é aprofundar ao máximo nos vídeos, e isto vai na direção contrária da divulgação científica padrão no youtube, que é dar um gostinho ao espectador esperando que ele se interesse no assunto. 

Deixo claro que não é uma crítica. Eu acho muito importante o trabalho do divulgador científico padrão, pois nós precisamos atrair as pessoas para a ciência em geral; e para isto é importante investir no visual e em uma objetividade no conteúdo.

Os meus vídeos também não são aquelas "aulas de bolso" - vídeos curtos falando objetivamente sobre um tópico específico. Esse tipo de abordagem é muito importante porque, às vezes, o aluno precisa ser objetivo, e um vídeo curto vai atender uma demanda local de maneira mais rápida.

No entanto, o objetivo com o meu canal é outro. Eu quero disponibilizar um vídeo, por exemplo, gastando quase 30 minutos explicando a razoabilidade da definição precisa de limite. Para aprofundar em Matemática precisamos investir tempo, não tem jeito! Como dito anteriormente, quero disponibilizar nos meus vídeos uma apresentação detalhada da demonstração de um teorema, que muitas vezes é inviável para um autor de livro. Eu quero entrar em alguns detalhes na vídeo-aula que na sala de aula presencial, com meus alunos, eu não consigo por limitação de tempo e coisas do tipo.

O YouTube se revelou como uma plataforma fenomenal para apresentar esta alternativa.

Finalmente, para quem quer ter um primeiro contato com Matemática pura (de graduação digamos assim), sugiro fortemente o curso de Teoria dos Conjuntos que está no canal. Praticamente não têm pré-requisitos, e o assunto é base para praticamente toda a Matemática desenvolvida modernamente, e em particular, nos outros cursos disponibilizados no canal. 

Sem querer me meter, mas eu - indico e - gosto muito da playlist Alfabetização em Anéis. É muito boa! Agora, para finalizarmos, gostaria de saber o que vem por aí: quais seus planos para o futuro do canal?

R: O objetivo atual é finalizar o curso de Análise na reta, mas que deve levar alguns meses ainda por conta de outras atividades que preciso executar. Depois pretendo continuar a seção de Álgebra Diferencial e começar a gravar aulas sobre a Teoria de Esquemas em Geometria Algébrica, que foram interrompidas justamente pelas demandas das disciplinas que lecionei/leciono ao longo dos últimos semestres.

Considerações finais

Primeiramente, eu gostaria de agradecer o Prof. Thiago por ter aceitado o desafio de conversar com a gente sobre a atividade matemática. Não é fácil externalizar certas coisas que fazem parte da nossa profissão ou da nossa existência de modo tão profundo. Em segundo lugar, gostaria de agradecer você que decidiu ler até aqui. Muito obrigado por dedicar esse tempo do seu dia a embarcar nessa aventura espinhosa conosco e discutir sobre a prática científica. 

Espero que este post gere bastante discussão, seja por discordarem ou por concordarem com ele. Além disso, espero que ele permita novos posts continuando a discussão, talvez com novos convidados ou posts mais elaborados, com um estudo cuidadoso por trás. Tudo vai depender da recepção que o post tiver. Também espero que este post e o blog crie um espaço para, nos comentários, vocês refletirem e discutirem juntos. Ou seja, espero que o blog seja um lugar confortável para crescermos intelectualmente juntos.

Se gostou do texto, por favor, comente, interaja, e, claro, compartihe com outras pessoas legais como você! Se você gostaria de ver algum tema específico sendo abordado com algum convidado nesse formato, por favor, deixe nos comentários (e, se quiser, indique a pessoa a ser convidada também).

3 Comentários

  1. Muito bom professor e Thiago! Começou o blog com o pé direito!! Viva a matemática!!

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  2. Gostaria que você convidasse alguém relacionado a computação, para discutirem seus fundamentos e relações com a matemática e a lógica, abraço. Bruno

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    1. Oi, Bruno!

      Anotado aqui. Com certeza vou convidar alguém para falar disso!

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